Страницы нашей жизни / Жизнь - это не только работа /
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8722
Рейтинг: 32894
27.06.2022 17:10:08
Уважаемые коллеги!
Возможно, вас удивило наличие на нашем Форуме данной темы по математике, поэтому я поясню причину ее появления.
В 2014 году я опубликовал на YouTube видеоролик "Видеонаблюдение: как оценить мертвую зону под видекамерой".
Сравнительно недавно в комментариях под этим видео я прочел упоминание об уроках математики… и задумался.
Дело в том, что более 40 лет назад я действительно преподавал математику на подготовительных курсах в ленинградском институте, который назывался СЗПИ.
Потом не раз в жизни я понемногу занимался с детьми (которых родители считали неспособными к математике), и ребята начинали приносить из школы пятерки.
Признаюсь, я люблю математику:
- в книгах по ремонту телевизоров я, наверное, единственный автор в этой области, кто рассмотрел процесс поиска неисправности с помощью основ теории вероятности и теории информации;
- в книге "Охранное телевидение" я широко использовал геометрию и тригонометрию;
- рассчитал и создал телевизионные испытательные таблицы;
- подготовил расчеты онлайн (фокусное расстояние объектива, диагональ монитора, перевод дюймов в сантиметры, выбор длины проводов и пр.).
"Почему бы не стать репетитором?" - сказал я себе. Действительно, детей я люблю, умею им доступно объяснять, с родителями смогу найти общий язык.
И вот для чего я это всё написал.
Коллеги! У меня ко всем просьба: если у вас (или у ваших знакомых) есть дети или внуки (желательно с 5 по 11 класс), с которыми нужно заниматься по математике, то я готов помочь.
Занятия я провожу дистанционно – по Skype или ZOOM.
Подробности по e-mail: yurigedzberg@gmail.com
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8722
Рейтинг: 32894
27.06.2022 17:17:42
Я решил прокомментировать данную задачу.
Для начала приведу чертеж, более реальный к действительности (по сравнению с исходным чертежом, в котором пропорции нарушены, возможно, сознательно, чтобы усложнить решение задачи).
Найти площадь прямоугольника ADEF со сторонами x и y достаточно просто, составив пропорцию сторон из любой пары трех подобных треугольников: ABC, DBE, FEC, например, так:
4 / y = x / 3
Откуда площадь ADEF:
SADEF = x * y = 4 * 3 = 12
Отсюда одну сторону можно выразить через другую:
y = 12 / x
Искомая площадь треугольника ABC:
SABC = SDBE + SADEF + SFEC = (1 / 2) 4 * x + x * y + (1 / 2) y * 3 = (1 / 2) 4 * x + 12 + (1 / 2) * (12 / x) * 3 = 2 x + 12 + 18 / x
Берем производную:
S'ABC = 2 – 18 / x2
Приравниваем ее нулю и преобразуем:
2 x2 = 18
Горизонтальная сторона прямоугольника ADEF: x = 3 (отрицательный корень отбрасываем).
Вертикальная его сторона: y = 12 / 3 = 4
Соответственно, минимальная площадь треугольника ABC (при заданных условиях):
SABC = (1 / 2) 4 * 3 + 12 + (1 / 2) 4 * 3 = 24
Это действительно минимум функции:
По сути, все это есть в видеороликах.
Нет в них лишь нескольких моментов.
1. Вершины прямоугольника оказываются на серединах сторон треугольника ABC.
2. Проведем диагональ в прямоугольнике DF, которая делит треугольник ABC на 4 одинаковых прямоугольных треугольника (кстати, это так называемые Пифагоровы тройки со сторонами 3, 4, 5).
3. Поэтому для вычисления площади треугольника ABC достаточно вычислить площадь одного маленького треугольника и результат умножить на 4:
(1 / 2) 4 * 3 * 4 = 24
Аналогичный результат можно получить из подобия треугольников ADF и ABC, площади которых пропорциональны коэффициенту подобия в квадрате, то есть 22 = 4. Тот же результат получается, если взять удвоенное значение площади прямоугольника.
4. Главный вывод: совсем не обязательно подробно решать подобную задачу – ответом является удвоенное произведение указанных в условии отрезков сторон:
SABC = 2 * 4 * 3 = 24
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8722
Рейтинг: 32894
28.06.2022 11:48:46
Возникает вопрос: насколько случайны совпадения: на стороне AB имеются рвные отрезки 4 и 4, на стороне AC отрезки 3 и 3?
Обозначим дополнительные отрезки на этих сторонах как a и b
Повторим расчет в общем виде.
b / y = x / a
x * y = a * b
SABC = (1 / 2) b * x + a * b + (1 / 2) a * (a * b) / x
Берем производную и приравниваем ее нулю:
(1 / 2) b - (1 / 2) a2 * b / x2 = 0
x2 = a2
x = a
Аналогично можно получить y = b
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8722
Рейтинг: 32894
28.06.2022 19:33:52
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8722
Рейтинг: 32894
29.06.2022 08:24:03
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8722
Рейтинг: 32894
29.06.2022 16:50:37
События независмые, поэтому вероятности перемножаются:
P = 0,006 * 0,04 = 0,00024
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8722
Рейтинг: 32894
30.06.2022 07:31:57
3D, говорите? Ну-ну...
Вот старинный учебник по геометрии 1570 года:
Все уже когда-нибудь было.
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8722
Рейтинг: 32894
01.07.2022 08:24:58
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8722
Рейтинг: 32894
02.07.2022 13:56:50
Эта задача со стремянкой, мне кажется, может служить хорошей иллюстрацией, что графические решения подчас являются более наглядными и более эффективными, чем аналитические:
Я поступил следующим образом.
1. Из подобия маленьких треугольников составил пропорцию:
y / 1 = 1 / x
Отсюда y = 1 / x (функция обратно пропорциональной зависимости, ее график - гипербола)
2. Для большого треугольника (благодаря Пифагору) можно записать:
(x + 1)2 + (y + 1)2 = 42 (это уравнение окружности радиуса 4)
Вводим данные в сервис Desmos, ву-а-ля:
Точки пересечения графиков в области положительных чисел - это решения задачи:
x1 = 0,362 y1 = 2,761
x2 = 2,761 y2 = 0,362
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8722
Рейтинг: 32894
03.07.2022 09:33:45
Есть возможность померяться интеллектом с Альбертом Эйнштейном.
Задача
Машина прошла 1 милю со скоростью 15 миль в час. С какой скоростью она должна пройти следующую милю, чтобы средняя скорость на этих 2 милях была 30 миль в час?