С математикой по жизни

Я решил опубликовать здесь не решение, а некоторую иллюстрацию к данной задаче.

Если бы грунт на всем пути кавалериста был бы одинаковым (например, пришлось бы скакать на всем пути только через луг), то наилучшей траекторией был бы кратчайший путь, а именно – прямая АС.

Однако, имеется участок с песком, и поскольку скорость v / 2 по песку в 2 раза меньше, чем скорость по лугу v, то кавалерист будет стремиться из точки А не в точку О, а в какую-то точку К, чтобы сократить длину пути по песку.

Но насколько точка К должна отстоять от точки Е? Ведь при выборе меньшего пути по песку (участок АК) происходит увеличение длины пути по лугу (участок КС)?

Классический вариант решения – описать значение времени t, затрачиваемого на прохождение пути по траектории АКС, затем взять производную полученной функции, приравнять ее нулю и найти значение участка ЕК (х), наименьшее значение которого соответствует наилучшей траектории кавалериста.

Ну, что ж, из прямоугольных треугольников АЕК и КСF (используя теорему Пифагора) можно определить время, затрачиваемое кавалеристом при движении им по искомой траектории:

t = (√2² + x²) / (v /2) + (√(7 – x)² + 3²) / v

Однако дальше я не стал брать производную, а решил упростить себе жизнь, используя сервис desmos.com, с помощью которого получил график искомой функции.

Видим, что график функции затраченного времени t имеет минимум в точке x = 1 - на этот ориентир и должен скакать кавалерист.

Это и есть решение задачи.

Умение создавать видеоролики некоторыми авторами понимается как умение выдувать мыльные пузыри.

Треугольники ABC и EDC - подобные, их стороны соотносятся через коэффициент подобия k (например, k = AC / EC), а площади как квадрат этого коэффициента, то есть k².

Если DE делит площадь треугольника ABC пополам (ABDE = EDC), то есть k² = 2, значит,

AC / EC = k = √2

Одно из возможных решений - через размеры сторон внутренних прямоугольников:

24 = 8 * 3

12 = 4 * 3

42 = 6 * 7

9 = 2 * 4,5

18 = 4 * 4,5

Тогда стороны искомого прямоугольника равны:

2 + 4 = 6

7 - 4,5 = 2,5

А его площадь равна:

6 * 2,5 = 15

Шестой класс:

S – расстояние между пунктами А и Б

Vт – скорость теплохода в стоячей воде

Vр – скорость течения реки (скорость плота)

Искомое время движения плота: S / Vр

Проблема в том, что в явном виде не задано ни расстояние S, ни скорость течения Vр. Однако можно попытаться найти само отношение S / Vр.

1. Время движения теплохода по течению:

t_по = S / (Vт + Vр)

2. Время движения теплохода против течения:

t_про = S / (Vт - Vр)

Используем условие t_про / t_по = 1,5

Подставляем значения времен движения

(S / (Vт - Vр)) / (S / (Vт + Vр)) = (1/ (Vт – Vр)) / (1 / (Vт + Vр)) = 1,5

После преобразования получаем:

(Vт + Vр) / (Vт – Vр) = 1,5

Vт + Vр = 1,5 Vт – 1,5 Vр

0,5 Vт = 2,5 Vр

Vт = 5 Vр

3. Используем еще одно условие: t_по + t_про = 30

Подставляем значения и преобразовываем:

t_по + t_про = S / (Vт + Vр) + S / (Vт - Vр) =

S (1 / (Vт + Vр) + 1 / (Vт - Vр) =

S (Vт – Vр + Vт + Vр) / ((Vт + Vр) (Vт - Vр)) =

S 2 Vт / ((Vт)² – (Vр)²)

Используем полученное соотношение Vт = 5 Vр

S 2 Vт / ((Vт)² – (Vр)²) = S * 2 * 5 * Vр / (25 (Vр)² - (Vр)²) =

2 * 5 * S / 24 Vр = (5 / 12) * (S / Vр)

Получаем:

(5 / 12) * (S / Vр) = 30

Время движения плота:

S / Vр = 30 * 12 / 5 = 72 часа