Страницы нашей жизни / Жизнь - это не только работа /
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8689
Рейтинг: 32690
04.07.2022 15:41:06
Уважаемые коллеги!
Возможно, вас удивило наличие на нашем Форуме данной темы по математике, поэтому я поясню причину ее появления.
В 2014 году я опубликовал на YouTube видеоролик "Видеонаблюдение: как оценить мертвую зону под видекамерой".
Сравнительно недавно в комментариях под этим видео я прочел упоминание об уроках математики… и задумался.
Дело в том, что более 40 лет назад я действительно преподавал математику на подготовительных курсах в ленинградском институте, который назывался СЗПИ.
Потом не раз в жизни я понемногу занимался с детьми (которых родители считали неспособными к математике), и ребята начинали приносить из школы пятерки.
Признаюсь, я люблю математику:
- в книгах по ремонту телевизоров я, наверное, единственный автор в этой области, кто рассмотрел процесс поиска неисправности с помощью основ теории вероятности и теории информации;
- в книге "Охранное телевидение" я широко использовал геометрию и тригонометрию;
- рассчитал и создал телевизионные испытательные таблицы;
- подготовил расчеты онлайн (фокусное расстояние объектива, диагональ монитора, перевод дюймов в сантиметры, выбор длины проводов и пр.).
"Почему бы не стать репетитором?" - сказал я себе. Действительно, детей я люблю, умею им доступно объяснять, с родителями смогу найти общий язык.
И вот для чего я это всё написал.
Коллеги! У меня ко всем просьба: если у вас (или у ваших знакомых) есть дети или внуки (желательно с 5 по 11 класс), с которыми нужно заниматься по математике, то я готов помочь.
Занятия я провожу дистанционно – по Skype или ZOOM.
Подробности по e-mail: yurigedzberg@gmail.com
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8689
Рейтинг: 32690
04.07.2022 15:43:22
Напомню, что средняя скорость:
vср = S / t
где S - весь пройденный путь, t - время, затраченное на его прохождение.
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8689
Рейтинг: 32690
05.07.2022 09:16:45
Итак, весь пройденный путь S состоит из двух участков S1 и S2, то есть
S = S1 + S2
Скорость прохождения первого участка равна v1, второго участка v2, так что на прохождение первого участка машине потребовалось время
t1 = S1 / v1
, на прохождение второго участка пути потребуется время
t2 = S2 / v2
Общее время в пути
t = t1 + t2
Средняя скорость
vср = S / t = (S1 + S2) / (S1 / v1 + S2 / v2)
Нам требуется отыскать значение v2, поэтому преобразуем данное выражение (приравняем значения общего времени):
S1 / v1 + S2 / v2 = (S1 + S2) / vср
На прохождение второго участка пути требуется время:
S2 / v2 = (S1 + S2) / vср - S1 / v1
Искомая скорость
v2 = S2 / ((S1 + S2) / vср - S1 / v1)
Ну, вот, осталось подставить лишь числовые значения, и задача решена:
v2 = 1 / ((1 + 1) / 30 – 1 / 15) = 1 (2 / 30 – 1 / 15) = 1 / 0 = ∞
Вот это номер – на втором участке дороги скорость должна быть бесконечно большой!
Почему? Потому что на преодоление 1-й мили машина потратила столько же времени (1 / 15), сколько по условию задачи нужно потратить на весь путь (2 / 30), то есть 4 минуты, и больше времени не осталось.
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8689
Рейтинг: 32690
06.07.2022 08:32:54
Простой способ заработать бутылку пива на спор: "Выбери 4 числа и сложи их, а я тебе скажу, чему равна их сумма".
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8689
Рейтинг: 32690
07.07.2022 08:33:20
Задача: чему равна площадь, окрашенная синим цветом?
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8689
Рейтинг: 32690
08.07.2022 08:56:59
Я решал эту задачу так.
Искомая площадь получается как разность площади круга с центром О и площадей кругов с центрами О1 и О2.
Сначала рассмотрим два круга: О1 и О, постараемся вычислить площадь фигуры, образованную двумя дугами: АО1В и АОВ, которая вырезается из площади круга О.
Половину этой фигуры составляет сегмент АОВ, площадь которого можно вычислить как разность площадей сектора АОВО1 и равнобедренного треугольника АО1В с боковыми сторонами, равными радиусу окружности R.
Угол АО1В = 120°
Площадь сектора:
SАОВО1 = (π R2 * 120°) / 360° = (π R2) / 3
Площадь треугольника:
SАО1В = 1/2 R2 sin (120°) = 1/2 R2 * (√3/2) = R2 * √3 / 4
Площадь сегмента:
SАОВ = SАОВО1 - SАО1В = (π R2) / 3 - R2 * √3 / 4
Площадь двух сегментов, образующих фигуру из двух дуг АО1В и АОВ:
2 SАОВ = 2 (π R2) / 3 - R2 * √3 / 4
Площадь синего круга, после того, как из него вычесть площадь указанных сегментов:
SО - 2 SАОВ = π R2 - 2 (π R2) / 3 + 2 R2 * √3 / 4
Окончательная площадь фигуры, оставшейся от синего круга О после вычитания из него накладываемых площадей круга О1 и круга О2:
SО - 4 SАОВ = π R2 - 4 (π R2) / 3 + 4 R2 * √3 / 4 = R2 * √3 - (π R2) / 3
После подстановки значения радиуса R = 4 окончательно получаем:
S = 16 √3 – 16 π / 3
В видеоролике несколько иное решение:
А вообще подобных задач в интернете немало (но теперь вы знаете, как их решать):
https://www.youtube.com/watch?v=rm-JfTRUxzA
https://www.youtube.com/watch?v=aD6yHn17rHs
https://www.youtube.com/watch?v=r5Pxjp-uZfA
https://www.youtube.com/watch?v=LO19YlO01R0
https://www.youtube.com/watch?v=gVFwBAnVFTo
https://www.youtube.com/watch?v=T-Y1rGVjoZc
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8689
Рейтинг: 32690
09.07.2022 07:45:32
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8689
Рейтинг: 32690
10.07.2022 20:11:30
Давайте, разбираться, что не так с этим фокусом. Для этого пройдем шаг за шагом по данному преобразованию.
Итак:
16 – 36 = 25 – 45
Справедливо? Справедливо. Правда… вот сама запись, и то, что слева и справа мы видим – 20… Даже не так – то, что и слева и справа отрицательное число. Зачем? Ох, неспроста. По-хорошему, уже здесь уши должны быть топориком.
Дальше:
16 – 36 + (20 1/4) = 25 – 45 + (20 1/4)
Справедливо?
Да, справедливо, выполнено равносильное преобразование.
42 – 2*4*(9/2) + 81/4 = 52 – 2*5*(9/2) + (9/2)2
Справедливо? Да, всё ОК.
Ясно, что логика действий подводит нас в дальнейшем к использованию формулы разности квадратов:
(a - b)2 = a2 – 2ab + b2
Всё это хорошо, надо лишь помнить, что в силу чётности выражения в левой части можно написать и эти оба выражения будут справедливы:
(b - a)2 = b2 – 2ab + a2 = a2 – 2ab + b2
Помним об этом и смотрим, что происходит дальше:
(4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2
Что-то не так? Да, нет, пока все в рамках законов :-) математики. Ведь если возвести каждое из выражений в скобках в квадрат, мы получим исходное выражение.
Просто следует обратить внимание, как нас искусно подвели к тому, что в левой скобке отрицательное выражение, а в правой положительное, которые, конечно не равны:
4 - 9/2 = - 1/2
5 - 9/2 = + 1/2
Сделано это сознательно, ведь как мы только что заметили, что вместо 4 - 9/2 можно было бы записать 9/2 – 4, и тогда после возведения в квадрат мы получили бы такое же исходное выражение.
Но, что сделано, то сделано. Берём попкорн и смотрим, что же будет дальше.
Ну, а дальше извлекаются квадратные корни из обеих частей равенства.
И вот здесь-то как раз собака и порылась.
Если к правой части нового "равенства" претензий нет
√(5 - 9/2)2 = 5 - 9/2
, то с тем, как извлечён квадратный корень из левой части, согласиться нельзя.
Потому что существует понятие арифметического корня, которое вводится как раз для однозначности производимых преобразований – это неотрицательное значение корня чётной степени, квадрат которого равен подкоренному выражению, иначе говоря:
√(a)2 = |a|
В результате должно быть а, если а > 0.
В результате должно быть - а, если а <0.
Таким образом, после извлечения квадратного корня из левой части равенства мы должны написать
|4 - 9/2| = - (4 - 9/2) = 9/2 – 4
И в этом случае мы получаем верное равенство:
9/2 – 4 = 5 - 9/2
1/2 = 1/2
***************************
Жалко, конечно, что фокус испорчен. Ну, что поделать – я с детства ломал игрушки, чтобы узнать, как они устроены :-)
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8689
Рейтинг: 32690
11.07.2022 08:24:52
Разгадайте числовой ребус:
Юрий Гедзберг
Старожил
Сообщений: 8689
Рейтинг: 32690
12.07.2022 07:20:20
Я решал эту задачу следующим образом.
Сначала некоторые ограничения.
- Взаимно однозначное соответствие: для обозначения каждой цифры следует использовать лишь одну цифру.
- Буква "Б" может служить для обозначения только цифр: 1, 2, 3, 4 (поскольку их сумма не приводит к переносу единицы в старший разряд – его просто нет).
- "Б" не может быть нулем, поэтому "Т" – это не 0 и не 1.
- Поскольку буква "Т" повторяется чаще других, попробуем стартовать с нее.
Итак, возможные варианты с буквой "Т":
1 3 * 6 2 + 1 3 * 6 2 ______
|
Т = 2 |
* * * * 3 + * * * * 3 ______
|
Невозможный вариант: пока Т – это цифра, не превышающая 5, сумма в разряде Е + Е должна быть четным числом, иначе говоря, в этом случае Т не может выражаться нечетным числом. |
* * * * 4 + * * * * 4 ______
|
|
* * * * 5 + * * * * 5 ______
|
Невозможный вариант: при Т > 5 сумма в разряде Е+ Е + 1 с учетом переноса из младшего разряда (то есть Т) может быть только нечетной цифрой, при этом Е может быть равно только 2, но тогда и Б должно быть равно 2, чего быть не должно. |
* * * * 6 + * * * * 6 ______
|
Невозможный вариант – в этом случае Т = Е+ Е + 1 должно быть нечетной цифрой. |
* * * * 7 + * * * * 7 ______
|
Невозможный вариант – получается, что для отображения цифры 3 должна использоваться и буква Е и буква Б. |
* * * * 7 + * * * * 7 ______
|
Невозможный вариант – если Е – это 8, тогда А может быть только 4, а значит не будет переноса 1 в старший разряд, и при Б = 3 первая буква Т в слове ТЕАТР не может быть нечетной цифрой 7. |
* * * * 8 + * * * * 8 ______
|
Невозможный вариант – в этом случае Т = Е + Е + 1 должно быть нечетной цифрой. |
* * * * 9 + * * * * 9 ______
|
Невозможный вариант – получается, что цифра 4 должна одновременно обозначаться разными буквами, а именно: Б и Е. |
Таким образом, остается единственный вариант, а дальше, как говорится, дело техники:
23174
+
23174
--------
47348
Вот как объясняет решение своей задачи ее автор: