С математикой по жизни

Уважаемые коллеги!

Возможно, вас удивило наличие на нашем Форуме данной темы по математике, поэтому я поясню причину ее появления.

В 2014 году я опубликовал на YouTube видеоролик "Видеонаблюдение: как оценить мертвую зону под видекамерой".

Сравнительно недавно в комментариях под этим видео я прочел упоминание об уроках математики… и задумался.

Дело в том, что более 40 лет назад я действительно преподавал математику на подготовительных курсах в ленинградском институте, который назывался СЗПИ.

Потом не раз в жизни я понемногу занимался с детьми (которых родители считали неспособными к математике), и ребята начинали приносить из школы пятерки.

Признаюсь, я люблю математику:

• в книгах по ремонту телевизоров я, наверное, единственный автор в этой области, кто рассмотрел процесс поиска неисправности с помощью основ теории вероятности и теории информации;
• в книге "Охранное телевидение" я широко использовал геометрию и тригонометрию;
• рассчитал и создал телевизионные испытательные таблицы;
• подготовил расчеты онлайн (фокусное расстояние объектива, диагональ монитора, перевод дюймов в сантиметры, выбор длины проводов и пр.).

"Почему бы не стать репетитором?" - сказал я себе. Действительно, детей я люблю, умею им доступно объяснять, с родителями смогу найти общий язык.

И вот для чего я это всё написал.

Коллеги! У меня ко всем просьба: если у вас (или у ваших знакомых) есть дети или внуки (желательно с 5 по 11 класс), с которыми нужно заниматься по математике, то я готов помочь.

Занятия я провожу дистанционно – по Skype или ZOOM.

Подробности по e-mail: yurigedzberg@gmail.com

Напомню, что средняя скорость:

v_ср = S / t

где S - весь пройденный путь, t - время, затраченное на его прохождение.

Итак, весь пройденный путь S состоит из двух участков S₁ и S₂, то есть

S = S₁ + S₂

Скорость прохождения первого участка равна v₁, второго участка v₂, так что на прохождение первого участка машине потребовалось время

t₁ = S₁ / v₁

, на прохождение второго участка пути потребуется время

t₂ = S₂ / v₂

Общее время в пути

t = t₁ + t₂

Средняя скорость

v_ср = S / t = (S₁ + S₂) / (S₁ / v₁ + S₂ / v₂)

Нам требуется отыскать значение v₂, поэтому преобразуем данное выражение (приравняем значения общего времени):

S₁ / v₁ + S₂ / v₂ = (S₁ + S₂) / v_ср

На прохождение второго участка пути требуется время:

S₂ / v₂ = (S₁ + S₂) / v_ср - S₁ / v₁

Искомая скорость

v₂ = S₂ / ((S₁ + S₂) / v_ср - S₁ / v₁)

Ну, вот, осталось подставить лишь числовые значения, и задача решена:

v₂ = 1 / ((1 + 1) / 30 – 1 / 15) = 1 (2 / 30 – 1 / 15) = 1 / 0 = ∞

Вот это номер – на втором участке дороги скорость должна быть бесконечно большой!

Почему? Потому что на преодоление 1-й мили машина потратила столько же времени (1 / 15), сколько по условию задачи нужно потратить на весь путь (2 / 30), то есть 4 минуты, и больше времени не осталось.

Простой способ заработать бутылку пива на спор: "Выбери 4 числа и сложи их, а я тебе скажу, чему равна их сумма".

Задача: чему равна площадь, окрашенная синим цветом?

Я решал эту задачу так.

Искомая площадь получается как разность площади круга с центром О и площадей кругов с центрами О₁ и О₂.

Сначала рассмотрим два круга: О₁ и О, постараемся вычислить площадь фигуры, образованную двумя дугами: АО₁В и АОВ, которая вырезается из площади круга О.

Половину этой фигуры составляет сегмент АОВ, площадь которого можно вычислить как разность площадей сектора АОВО₁ и равнобедренного треугольника АО₁В с боковыми сторонами, равными радиусу окружности R.

Угол АО₁В = 120°

Площадь сектора:

S_АОВО1 = (π R² * 120°) / 360° = (π R²) / 3

Площадь треугольника:

S_АО1В = 1/2 R² sin (120°) = 1/2 R^{2 *} (√3/2) = R^{2 *} √3 / 4

Площадь сегмента:

S_АОВ = S_АОВО1 - S_АО1В = (π R²) / 3 - R^{2 *} √3 / 4

Площадь двух сегментов, образующих фигуру из двух дуг АО₁В и АОВ:

2 S_АОВ = 2 (π R²) / 3 - R^{2 *} √3 / 4

Площадь синего круга, после того, как из него вычесть площадь указанных сегментов:

S_О - 2 S_АОВ = π R² - 2 (π R²) / 3 + 2 R^{2 *} √3 / 4

Окончательная площадь фигуры, оставшейся от синего круга О после вычитания из него накладываемых площадей круга О₁ и круга О₂:

S_О - 4 S_АОВ = π R² - 4 (π R²) / 3 + 4 R^{2 *} √3 / 4 = R^{2 *} √3 - (π R²) / 3

После подстановки значения радиуса R = 4 окончательно получаем:

S = 16 √3 – 16 π / 3

В видеоролике несколько иное решение:

А вообще подобных задач в интернете немало (но теперь вы знаете, как их решать):

https://www.youtube.com/watch?v=rm-JfTRUxzA

https://www.youtube.com/watch?v=aD6yHn17rHs

https://www.youtube.com/watch?v=r5Pxjp-uZfA

https://www.youtube.com/watch?v=LO19YlO01R0

https://www.youtube.com/watch?v=gVFwBAnVFTo

https://www.youtube.com/watch?v=T-Y1rGVjoZc

Давайте, разбираться, что не так с этим фокусом. Для этого пройдем шаг за шагом по данному преобразованию.

Итак:

16 – 36 = 25 – 45

Справедливо? Справедливо. Правда… вот сама запись, и то, что слева и справа мы видим – 20… Даже не так – то, что и слева и справа отрицательное число. Зачем? Ох, неспроста. По-хорошему, уже здесь уши должны быть топориком.

Дальше:

16 – 36 + (20 1/4) = 25 – 45 + (20 1/4)

Справедливо?

Да, справедливо, выполнено равносильное преобразование.

4² – 2*4*(9/2) + 81/4 = 5² – 2*5*(9/2) + (9/2)²

Справедливо? Да, всё ОК.

Ясно, что логика действий подводит нас в дальнейшем к использованию формулы разности квадратов:

(a - b)² = a² – 2ab + b²

Всё это хорошо, надо лишь помнить, что в силу чётности выражения в левой части можно написать и эти оба выражения будут справедливы:

(b - a)² = b² – 2ab + a² = a² – 2ab + b²

Помним об этом и смотрим, что происходит дальше:

(4 - 9/2)² = (5 - 9/2)²

Что-то не так? Да, нет, пока все в рамках законов :-) математики. Ведь если возвести каждое из выражений в скобках в квадрат, мы получим исходное выражение.

Просто следует обратить внимание, как нас искусно подвели к тому, что в левой скобке отрицательное выражение, а в правой положительное, которые, конечно не равны:

4 - 9/2 = - 1/2

5 - 9/2 = + 1/2

Сделано это сознательно, ведь как мы только что заметили, что вместо 4 - 9/2 можно было бы записать 9/2 – 4, и тогда после возведения в квадрат мы получили бы такое же исходное выражение.

Но, что сделано, то сделано. Берём попкорн и смотрим, что же будет дальше.

Ну, а дальше извлекаются квадратные корни из обеих частей равенства.

И вот здесь-то как раз собака и порылась.

Если к правой части нового "равенства" претензий нет

√(5 - 9/2)² = 5 - 9/2

, то с тем, как извлечён квадратный корень из левой части, согласиться нельзя.

Потому что существует понятие арифметического корня, которое вводится как раз для однозначности производимых преобразований – это неотрицательное значение корня чётной степени, квадрат которого равен подкоренному выражению, иначе говоря:

√(a)² = |a|

В результате должно быть а, если а > 0.

В результате должно быть - а, если а <0.

Таким образом, после извлечения квадратного корня из левой части равенства мы должны написать

|4 - 9/2| = - (4 - 9/2) = 9/2 – 4

И в этом случае мы получаем верное равенство:

9/2 – 4 = 5 - 9/2

1/2 = 1/2

***************************

Жалко, конечно, что фокус испорчен. Ну, что поделать – я с детства ломал игрушки, чтобы узнать, как они устроены :-)

Разгадайте числовой ребус:

Я решал эту задачу следующим образом.

Сначала некоторые ограничения.

1. Взаимно однозначное соответствие: для обозначения каждой цифры следует использовать лишь одну цифру.
2. Буква "Б" может служить для обозначения только цифр: 1, 2, 3, 4 (поскольку их сумма не приводит к переносу единицы в старший разряд – его просто нет).
3. "Б" не может быть нулем, поэтому "Т" – это не 0 и не 1.
4. Поскольку буква "Т" повторяется чаще других, попробуем стартовать с нее.

Итак, возможные варианты с буквой "Т":

Таким образом, остается единственный вариант, а дальше, как говорится, дело техники:

23174

+

23174

--------

47348

Вот как объясняет решение своей задачи ее автор: